Прямая линия. Уравнение прямой
В данной статье мы рассмотрим общее уравнение прямой на плоскости. Приведем примеры построения общего уравнения прямой, если известны две точки этой прямой или если известна одна точка и нормальный вектор этой прямой. Представим методы преобразования уравнения в общем виде в канонический и параметрический виды.
Пусть задана произвольная декартова прямоугольная система координат Oxy . Рассмотрим уравнение первой степени или линейное уравнение:
| Ax+By+C =0, | (1) |
где A, B, C − некоторые постоянные, причем хотя бы один из элементов A и B отлично от нуля.
Мы покажем, что линейное уравнение на плоскости определяет прямую. Докажем следующую теорему.
Теорема 1. В произвольной декартовой прямоугольной системе координат на плоскости каждая прямая линия может быть задана линейным уравнением. Обратно, каждое линейное уравнение (1) в произвольной декартовой прямоугольной системе координат на плоскости определяет прямую линию.
Доказательство. Достаточно доказать, что прямая L определяется линейным уравнением при какой нибудь одной декартовой прямоугольной системе координат, поскольку тогда она будет определяться линейным уравнением и при любом выборе декартовой прямоугольной системы координат.
Пусть на плоскости задана прямая L . Выберем систему координат так, чтобы ось Ox совпадал с прямой L , а ось Oy был перпендикулярной к ней. Тогда уравнение прямой L примет следующий вид:
| y=0. | (2) |
Все точки на прямой L будут удовлетворять линейному уравнению (2), а все точки вне этой прямой, не будут удовлетворять уравнению (2). Первая часть теоремы доказана.
Пусть задана декартова прямоугольная система координат и пусть задана линейное уравнение (1), где хотя бы один из элементов A и B отличен от нуля. Найдем геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (1). Так как хотя бы один из коэффициентов A и B отличен от нуля, то уравнение (1) имеет хотя бы одно решение M (x 0 ,y 0). (Например, при A ≠0, точка M 0 (−C/A , 0) принадлежит данному геометрическому месту точек). Подставляя эти координаты в (1) получим тождество
| Ax 0 +By 0 +C =0. | (3) |
Вычтем из (1) тождество (3):
| A (x −x 0)+B (y −y 0)=0. | (4) |
Очевидно, что уравнение (4) эквивалентно уравнению (1). Поэтому достаточно доказать, что (4) определяет некоторую прямую.
Поскольку мы рассматриваем декартову прямоугольную систему координат, то из равенства (4) следует, что вектор с компонентами {x−x 0 , y−y 0 } ортогонален вектору n с координатами {A,B }.
Рассмотрим некоторую прямую L , проходящую через точку M 0 (x 0 , y 0) и перпендикулярной вектору n (Рис.1). Пусть точка M (x ,y) принадлежит прямой L . Тогда вектор с координатами x−x 0 , y−y 0 перпендикулярен n и уравнение (4) удовлетворено (скалярное произведение векторов n и равно нулю). Обратно, если точка M (x ,y) не лежит на прямой L , то вектор с координатами x−x 0 , y−y 0 не ортогонален вектору n и уравнение (4) не удовлетворено. Теорема доказана.
Доказательство. Так как прямые (5) и (6) определяют одну и ту же прямую, то нормальные векторы n 1 ={A 1 ,B 1 } и n 2 ={A 2 ,B 2 } коллинеарны. Так как векторы n 1 ≠0, n 2 ≠0, то существует такое число λ , что n 2 =n 1 λ . Отсюда имеем: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ . Докажем, что C 2 =C 1 λ . Очевидно, что совпадающие прямые имеют общую точку M 0 (x 0 , y 0). Умножая уравнение (5) на λ и вычитая из него уравнение (6) получим:
Так как выполнены первые два равенства из выражений (7), то C 1 λ −C 2 =0. Т.е. C 2 =C 1 λ . Замечание доказано.
Заметим, что уравнение (4) определяет уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (x 0 , y 0) и имеющий нормальный вектор n ={A,B }. Поэтому, если известен нормальный вектор прямой и точка, принадлежащая этой прямой, то можно построить общее уравнение прямой с помощью уравнения (4).
Пример 1. Прямая проходит через точку M =(4,−1) и имеет нормальный вектор n ={3, 5}. Построить общее уравнение прямой.
Решение. Имеем: x 0 =4, y 0 =−1, A =3, B =5. Для построения общего уравнения прямой, подставим эти значения в уравнение (4):
Ответ:
Вектор параллелен прямой L и, следовательно, перпердикулярен нормальному вектору прямой L . Построим нормальный вектор прямой L , учитывая, что скалярное произведение векторов n и равно нулю. Можем записать, например, n ={1,−3}.
Для построения общего уравнения прямой воспользуемся формулой (4). Подставим в (4) координаты точки M 1 (можем взять также координаты точки M 2) и нормального вектора n :
Подставляя координаты точек M 1 и M 2 в (9) можем убедится, что прямая заданная уравнением (9) проходит через эти точки.
Ответ:
Вычтем (10) из (1):
Мы получили каноническое уравнение прямой. Вектор q ={−B , A } является направляющим вектором прямой (12).
Обратное преобразование смотрите .
Пример 3. Прямая на плоскости представлена следующим общим уравнением:
Переместим на право вторую слагаемую и разделим обе части уравнения на 2·5.
Кривая второго порядка — геометрическое место точек на плоскости, прямоугольные координаты
которых удовлетворяют уравнению вида:
в котором, по крайней мере один из коэффициентов a 11 , a 12 , a 22 не равен нулю.
Инварианты кривых второго порядка.
Вид кривой зависим от 4 инвариантов , приведенных ниже:
Инварианты относительно поворота и сдвига системы координат:
Инвариант относительно поворота системы координат (полуинвариант ):
Для изучения кривых второго порядка рассматриваем произведение А*С.
Общее уравнение кривой второго порядка выглядит так:
Ax 2 +2Bxy+Cy 2 +2Dx+2Ey+F=0
Если А*С > 0 эллиптического типа . Любое эллиптическое
уравнение - это уравнение или обычного эллипса, или же вырожденного эллипса (точки), или мнимого
эллипса (в таком случае уравнение не определяет на плоскости ни одного геометрического образа);
Если А*С < 0 , то уравнение принимает вид уравнения гиперболического типа . Любое гиперболическое
уравнение выражает или простую гиперболу, или вырожденную гиперболу (две пересекающиеся прямые);
Если А*С = 0 , то линия второго порядка не будет центральной. Уравнения такого типа называют
уравнениями параболического типа и выражают на плоскости или простую параболу , или 2 параллельных
(либо совпадающих) прямых, или не выражают на плоскости ни одного геометрического образа;
Если А*С ≠ 0 , кривая второго порядка будет
Общее уравнение кривой второго порядка на плоскости имеет вид:
Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0, (39)
где A 2 + B 2 + C 2 0, (A , B , C , D , E , F ) R . Оно определяет все возможные конические сечения произвольным образом расположенные на плоскости.
Из коэффициентов уравнения (39) составим два определителя:
Называется дискриминантом уравнения (39), а - дискриминантом старших членов уравнения. При 0 уравнение (39) определяет: > 0 - эллипс; < 0 - гиперболу; = 0 - параболу. В случае = 0 кривые вырождаются в точку или прямые линии.
От общего уравнения (39) можно перейти к каноническому уравнению, если исключить линейные и перекрестный члены путем перехода в новую систему координат, совпадающую с осями симметрии фигуры. Заменим в (39) x на x + a и y на y + b , где a , b некоторые константы . Выпишем полученные коэффициенты при х и y и приравняем их к 0
(Aa + Bb + D )x = 0, (Cb + Ba + E )y = 0. (41)
В результате уравнение (39) примет вид:
A (x ) 2 + 2B (x )(y ) + C (y ) 2 + F = 0, (42)
где коэффициенты А , B , C не изменились, а F = / . Решение системы уравнений (41) определит координаты центра симметрии фигуры:
Если B = 0, то a = -D /A , b = -E /C и исключать линейные члены в (39) удобно методом приведения к полному квадрату:
Ax 2 + 2Dx = A (x 2 + 2xD /A + (D /A ) 2 - (D /A ) 2) = A (x + D /A ) 2 - D 2 /A .
В уравнении (42) совершим поворот координат на угол a (38). Выпишем полученный коэффициент при перекрестном члене x y и приравняем его к 0
xy = 0. (44)
Условие (44) определяет необходимый угол поворота осей координат до их совпадения с осями симметрии фигуры и принимает вид:
Уравнение (42) принимает форму:
A + X 2 + C + Y 2 + F = 0 (46)
от которой легко перейти к каноническому уравнению кривой:
Коэффициенты A + , C + , при условии (45), можно представить как корни вспомогательного квадратного уравнения:
t 2 - (A + C )t + = 0. (48)
В результате определены положение и направление осей симметрии фигуры, ее полуоси:
и она может быть построена геометрически.
В случае = 0 имеем параболу. Если её ось симметрии параллельна оси Ох , то уравнение сводится к виду:
если нет, то к виду:
где выражения в скобках, приравненные к 0, определяют линии новых осей координат: , .
Решение типичных задач
Пример 15. Привести уравнение 2x 2 + 3y 2 - 4x + 6y - 7 = 0 к каноническому виду и построить кривую.
Решение. B = 0, = -72 0, = 6 > 0 эллипс.
Выполним приведение к полному квадрату:
2(x - 1) 2 + 3(y + 1) 2 - 12 = 0.
Координаты центра симметрии (1; -1), линейное преобразование X = x - 1, Y = y + 1 приводит уравнение к каноническому виду .
Пример 16. Привести уравнение 2xy = a 2 к каноническому виду и построить кривую.
Решение. B = 1, = a 2 0, = -1 < 0 гипербола .
Центр системы координат находится в центре симметрии кривой, т.к. в уравнении нет линейных членов. Совершим поворот осей на угол a. По формуле (45) имеем tg2a = B
/(A
- C
) = , т.е. a = 45°. Коэффициенты канонического уравнения (46) A
+ , C
+ определяются уравнением (48): t
2 = 1 или t
1,2 = 1 A
+ = 1, C
+ = -1, т.е.
X
2 - Y
2 = a
2 или . Таким образом, уравнение 2ху
= а
2 описывает гиперболу с центром симметрии в (0; 0). Оси симметрии располагаются по биссектрисам координатных углов, асимптотами служат оси координат, полуоси гиперболы равны а
.y
- 9 =0;
9x 2 + y 2 - 18x + 2y + 1 = 0;
2x 2 + 4х + y - 2 = 0;
3x 2 - 6х - y + 2 = 0;
- x 2 + 4y 2 - 8x - 9y + 16 = 0;
4x 2 + 8х - y - 5 = 0;
9x 2 - y 2 + 18x + 2y - 1 = 0;
9x 2 - 4y 2 + 36x + 16y - 16 = 0.
Если на плоскости
введена ПДСК, то всякое уравнение первой
степени относительно текущих координат
и
, (5)
где
и
одновременно не равны нулю, определяет
прямую.
Верно и обратное утверждение: в ПДСК любая прямая может быть задана уравнением первой степени вида (5).
Уравнение вида (5) называется общим уравнением прямой .
Частные случаи уравнения (5) приведены в следующей таблице.
|
Значении коэффициентов |
Уравнение прямой |
Положение прямой |
|
|
|
|
Прямая проходит через начало координат |
|
|
|
Прямая
параллельна оси
|
||
|
|
Прямая
параллельна оси
|
||
|
|
Прямая
совпадает с осью
|
||
|
|
Прямая
совпадает с осью
|
Уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой.
У
глом
наклона прямой к оси
называется наименьший угол
,
на который нужно повернуть против
часовой стрелки ось абсцисс до её
совпадения с данной прямой (Рис.6).
Направление любой прямой характеризуется
еёугловым
коэффициентом
,
который определяется как тангенс угла
наклона
этой прямой, т. е.
.
Исключение
составляет только прямая, перпендикулярная
оси
,
которая не имеет углового коэффициента.
Уравнение
прямой, имеющей угловой коэффициент
и пересекающей ось
в точке, ордината которой равна
(начальная ордината)
,
записывается в виде
.
Уравнение прямой в отрезках
Уравнением прямой в отрезках называется уравнение вида
, (6)
где
и
соответственно
длины отрезков, отсекаемых прямой на
координатных осях, взятые с определёнными
знаками.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Пучок прямых
Уравнение
прямой, проходящей через данную точку
и имеющей угловой коэффициент
записывается в виде
. (7)
Пучком прямых
называется совокупность прямых плоскости,
проходящих через одну и точку
центр
пучка. Если известны координаты центра
пучка, то уравнение (8) можно рассматривать
как уравнение пучка, поскольку любая
прямая пучка может быть получена из
уравнения (8) при соответствующем значении
углового коэффициента
(исключение составляет прямая, которая
параллельна оси
её
уравнение
).
Если известны
общие уравнения двух прямых, принадлежащих
пучку
и(образующих пучка), то уравнении любой
прямой из этого пучка можно записать в
виде
Уравнение прямой, проходящей через две точки
Уравнение
прямой, проходящей через две данные
точки
и
,
имеет вид
.
Если точки
и
определяют прямую, параллельную оси
или оси
,
то уравнение такой прямой записывается
соответственно в виде
или 
.
Взаимное расположение двух прямых. Угол между прямыми. Условие параллельности. Условие перпендикулярности
Взаимное расположение двух прямых, заданных общими уравнениями
и ,
представлено в следующей таблице.
Под углом
между двумя прямыми
понимается один из смежных углов,
образованных при их пересечении. Острый
угол между прямыми
м
,
определяется формулой
.
Заметим, что если
хотя бы одна из данных прямых параллельна
оси
,
то формула (11) не имеет смысла, поэтому
будем использовать общие уравнения
прямых
и .
формула (11) примет вид
.
Условие параллельности:
или 
.
Условие перпендикулярности:
или 
.
Нормальное уравнение прямой. Расстояние точки от прямой. Уравнения биссектрис
Нормальное уравнение прямой имеет вид
где
длина
перпендикуляра (нормали), опущенного
из начала координат на прямую,
угол
наклона этого перпендикуляра к оси
.
Чтобы привести общее уравнение прямой
к нормальному виду, нужно обе части
равенства (12) умножить нанормирующий
множитель
,
взятый со знаком противоположным знаку
свободного члена
.
Расстояние
точки
от прямой
найдём по формулам
.
(9)
Уравнение
биссектрис углов между прямыми
и
:
.
Задача 16.
Дана прямая
.
Составить уравнение прямой, проходящей
через точку
параллельно данной прямой.
Решение.
По условию параллельности прямых
.
Для решения задачи будем использовать
уравнение прямой, проходящей через
данную точку
в данном направлении (8):
.
Найдём угловой
коэффициент данной прямой. Для этого
от общего уравнения прямой (5) перейдём
к уравнению с угловым коэффициентом
(6) (выразим
через
):
Следовательно,
.
Задача 17
.
Найти точку
,
симметричную точке
,
относительно прямой
.
Решение.
Для того, чтобы найти точку симметричную
точке
относительно прямой
(Рис.7) необходимо:
1) опустить из точки
на прямую
перпендикуляр,
2) найти основание
этого перпендикуляра
точку
,
3) на продолжении
перпендикуляра отложить отрезок
.
Итак, запишем
уравнение прямой, проходящей через
точку
перпендикулярно данной прямой. Для
этого воспользуемся уравнением прямой,
проходящей через данную точку в данном
направлении (8):
.
Подставим координаты
точки
:
. (11)
Угловой коэффициент найдём из условия перпендикулярности прямых:
.
Угловой коэффициент данной прямой
,
следовательно, угловой коэффициент перпендикулярной прямой
.
Подставим его в уравнение (11):
Далее, найдём точку
точку
пересечения данной прямой и ей
перпендикулярной прямой. Так как точка
принадлежит обеим прямым, то её координаты
удовлетворяют их уравнениям. Значит,
для отыскания координат точки пересечения
требуется решить систему уравнений,
составленную из уравнений этих прямых:
Решение системы
,
,
т. е.
.
Точка
является серединой отрезка
,
тогда из формул (4):
, 
,
найдём координаты
точки
:
Таким образом,
искомая точка
.
Задача 18
.Составить
уравнение прямой, которая проходит
через точку
и отсекает от координатного угла
треугольник с площадью, равной 150 кв.ед.
(Рис.8).
Решение . Для решения задачи будем использовать уравнение прямой «в отрезках» (7):
.
(12)
Так как точка
лежит на искомой прямой, то её координаты
должны удовлетворять уравнению этой
прямой:
.
Площадь треугольника, отсекаемого прямой от координатного угла вычисляется по формуле:
(записан модуль,
так как
и
могут быть отрицательными).
Таким образом,
получили систему для отыскания параметров
и
:
Эта система равносильна двум системам:
Решение первой
системы
,
и
,
.
Решение второй
системы
,
и
,
.
Подставим найденные значения в уравнение (12):
,
,
,
.
Запишем общие уравнения этих прямых:
,
,
,
.
Задача 19
.
Вычислить расстояние между параллельными
прямыми
и
.
Решение. Расстояние между параллельными прямыми равно расстоянию произвольной точки одной прямой до второй прямой.
Выберем на прямой
точку
произвольно, следовательно, можно задать
одну координату, т. е. например
,
тогда
.
Теперь найдём
расстояние точки
до прямой
по формуле (10):
.
Таким образом, расстояние между данными параллельными прямыми равно.
Задача 20.
Найти уравнение прямой, проходящей
через точку пересечения прямых
и
(не находя точки пересечения) и
Решение . 1) Запишем уравнение пучка прямых с известными образующими (9):
Тогда искомая прямая имеет уравнение
Требуется найти
такие значения
и
,
при которых прямая пучка пройдёт через
точку
,
т. е. её координаты должны удовлетворять
уравнению (13):
Подставим найденное
в уравнение (13) и после упрощении получим
искомую прямую:
.
.
Воспользуемся
условием параллельности прямых:
.
Найдём угловые коэффициенты прямых
и
.
Имеем, что
,
.
Следовательно,
Подставим найденное
значение
в уравнение (13) и упростим, получим
уравнение искомой прямой
.
Задачи для самостоятельного решения.
Задача 21.
Составить уравнение прямой, проходящей
через точки
и
:
1) с угловым коэффициентом; 2) общее;
3)
«в отрезках».
Задача 22.
Составить уравнение прямой, которая
проходит через точку
и образует с осью
угол
,
если 1)
,
;
2)
,
.
Задача 23.
Написать уравнения сторон ромба с
диагоналями 10 см и 6 см, приняв большую
диагональ за ось
,
а меньшую
за ось
.
Задача 24.
Равносторонний треугольник
со стороной, равной 2 единицам, расположен
так, как показано на рисунке 9. составить
уравнения его сторон.
Задача 25
.
Через точку
провести прямую, отсекающую на
положительных полуосях координат равные
отрезки.
Задача 26 . Найти площадь треугольника, который отсекает от координатного угла прямая:
1)
;
2)
.
Задача 27
.Написать
уравнение прямой, проходящей через
точку
и отсекающей от координатного угла
треугольник площадью, равной
,
если
1)
,
кв. ед.; 2)
,
кв. ед.
Задача 28.
Даны
вершины треугольника
.
Найти уравнение средней линии, параллельной
стороне
,
если
Мы говорили, что алгебраическая кривая второго порядка определяется алгебраическим уравнением второго степени относительно х и у . В общем виде такое уравнение записывается так
Ах 2 + Вху + Су 2 +Dx + Ey + F = 0, (6)
причем А 2 + В 2 + С 2 ¹ 0 (т.е. одновременно числа А, В, С в ноль не обращаются). Слагаемые Ах 2 , Вху , Су 2 называются старшими членами уравнения, число
называется дискриминантом этого уравнения. Уравнение (6) называется общим уравнением кривой второго порядка.
Для рассмотренных ранее кривых имеем:
Эллипс: 
Þ А = , В = 0, С = , D = Е = 0, F = –1,
окружность х 2 + у 2 = а 2 Þ А = С = 1, В = D = Е = 0, F = –а 2 , d = 1>0;
Гипербола: 
Þ А = , В = 0, С = – , D = Е = 0, F = –1,
d = – . < 0.
Парабола: у 2 = 2рх Þ А = В = 0, С=1, D = –2р , Е = F = 0, d = 0,
х 2 = 2ру Þ А = 1В = С= D = 0, Е = –2р , F = 0, d = 0.
Кривые, заданные уравнением (6), называются центральными кривыми, если d¹0. Если d> 0, то кривая эллиптического типа, если d<0, то кривая гиперболического типа. Кривые, для которых d = 0 являются кривыми параболического типа.
Доказано, что линия второго порядка в любой декартовой системе координат задается алгебраическим уравнением второго порядка. Только в одной системе уравнение имеет сложный вид (например, (6)), а в другой – более простой, например, (5). Поэтому удобно рассматривать такую систему координат, в которой изучаемая кривая записывается наиболее простым (например, каноническим) уравнением. Переход от одной системы координат, в которой кривая задается уравнением вида (6) к другой, где ее уравнение имеет более простой вид, называется преобразованием координат .
Рассмотрим основные виды преобразований координат.
I.
Преобразование переноса
координатных осей (с сохранением направления). Пусть в исходной системе координат ХОУ точка М имеет координаты (х
, у
х
¢, у
¢). Из чертежа видно, что координаты точки М в разных системах связаны соотношениями
(7), или (8).
Формулы (7) и (8) называются формулами преобразования координат.
II.
Преобразование поворота
координатных осей на угол a. Если в исходной системе координат ХОУ точка М имеет координаты (х
, у
), а в новой системе координат ХО¢У она имеет координаты (х
¢, у
¢). То связь между этими координатами выражается формулами
, (9)
или
С помощью преобразования координат уравнение (6) можно привести к одному из следующих канонических уравнений.
1) – эллипс,
2) – гипербола,
3) у 2 = 2рх , х 2 = 2ру – парабола
4) а 2 х 2 – b 2 y 2 = 0 – пара пересекающихся прямых (рис. а)
5) y 2 – a 2 = 0 – пара параллельных прямых (рис. б)
6) x 2 –a 2 = 0 – пара параллельных прямых (рис. в)
7) y 2 = 0 – совпадающие прямые (ось ОХ)
8) x 2 = 0 – совпадающие прямые (ось ОУ)
9) а 2 х 2 + b 2 y 2 = 0 – точка (0, 0)
10)
мнимый эллипс
11) y 2 + a 2 = 0– пара мнимых прямых
12) x 2 + a 2 = 0 пара мнимых прямых.
Каждое из этих уравнений является уравнением линии второго порядка. Линии, определяемые уравнениями 4 – 12, называют вырожденными кривыми второго порядка.
 |
|||
 |
|||
Рассмотрим примеры преобразования общего уравнения кривой к каноническому виду.
1) 9х 2 + 4у 2 – 54х + 8у + 49 = 0 Þ (9х 2 – 54х ) + (4у 2 + 8у ) + 49 = 0 Þ
9(х 2 – 6х + 9) + 4(у 2 + 2у + 1) – 81 – 4 + 49 = 0 Þ 9(х –3) 2 + 4(у + 1) = 36, Þ
.
Положим х
¢ = х
– 3, у
¢ = у
+ 1, получим каноническое уравнение эллипса 
. Равенства х
¢ = х
– 3, у
¢ = у
+ 1 определяют преобразование переноса системы координат в точку (3, –1). Построив старую и новую системы координат, нетрудно изобразить данный эллипс.
2) 3у 2 +4х – 12у +8 = 0. Преобразуем:
(3у 2 – 12у )+ 4 х +8 = 0
3(у 2 – 4у +4) – 12 + 4х +8 = 0
3(у – 2) 2 + 4(х –1) = 0
(у – 2) 2 = – (х – 1) .
Положим х ¢ = х – 1, у ¢ = у – 2, получим уравнение параболы у ¢ 2 = – х ¢. Выбранная замена соответствует переносу системы координат в точку О¢(1,2).